数学Ⅲをわかりやすく!頻出問題のひとつ「グラフを書け。」の攻略

数学3

はじめに

数Ⅲを勉強すると、今までは出てこなかったような複雑な関数のグラフを目の当たりにすることとなる。下のような関数を与えられたとき、諸君は即座にそのグラフをイメージできるだろうか。

[latex]y=sinx[/latex]
[latex]y=e^{x}[/latex]

もしイメージできない場合はすぐに数Ⅲの教科書等で復習しよう。問題が難しくなってくると、グラフを要求される関数はより複雑になっていき、そこを苦手とする生徒も増えるようだ。

今回の記事ではそういった生徒のために、グラフを書く問題において間違いやすいポイントや目の付け所などを説明していきたいと思う。

数Ⅲのつまずきポイントであるこの問題の苦手意識がこの記事によって少しでも解消すれば幸いである。

 

どこで間違ったグラフ認識をしてしまうのか

次の例題をまずは自力で解いてみてほしい。

問①:下の関数のグラフを書きなさい。

y=\dfrac{x}{x^{2}+1}

【解説】

まず微分した導関数について調べて、増減表を作成する。すると次のようになる。

導関数・・・y'=\dfrac{-(x+1)(x-1)}{(x^{2}+1)^{2}}

従って、y'=0とするとx=-1,1

 

x

・・・

-1

・・・

1

・・・

y’ 0 + 0
y -1/2 1/2

図2:増減表

この増減表から、諸君はもしかしたら下のような三次関数的グラフを想像するかもしれない。

図3:間違いグラフ

だが実際のグラフはこのようなものだ。

図4:正解グラフ

この差はどこで現れてしまったのだろうか?今までのグラフでは気に留める必要がなかったが、数Ⅲでは極限の概念を習った以上その無限大の値は気に留めないといけない。

今回で言えば、次のような事である。


極限から察するに、この関数はプラスマイナス無限大(つまり右端と左端)にいけば行くほど0(y軸)に近づいて行くことが分かる。

よってグラフは(間違い)のように3次関数のような発散しそうなグラフを書くのでは無く、だんだんと0に近づく(他悪しい)のグラフにすべきである。

「そんな微妙なところを採点者は見るのか?」という声が聞こえてきそうだが、逆にこういった極限の性質が如実に表れてくる箇所にこそグラフの概形には重きが置かれているのである。

 

問②:下の関数のグラフを書きなさい。

y=\dfrac{x^{2}+1}{x}

【解説】

先ほどの問題と同じように導関数と増減表を求めてみよう。

導関数・・・y'=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x^{2}}

なので、y'=0とするとx=1,-1。増減表は

 

x

・・・

-1

・・・

1

・・・

y’ + 0 0 +
y -2 2

図5:増減表

この増減表だけ見ると、見慣れた三次関数のようなグラフを書くのかと思ってしまいそうだがもちろんそんな単純なものではない。

増減表の中でおかしな部分がないだろうか。-1から1の箇所で、グラフとしては減少しているはずなのにその値は増えている。これではどうつなげたら良いか分からなくなってしまう。これはどの部分で発生してしまった不都合なのだろうか。

読者諸君には分数関数について思い出してほしい。分数関数を考える時、その定義域は非常に重要な考え方であった。今回の場合でいえば分母が0となってしまうは除去して考えなければならない。

つまりこの関数はx=0で不連続なのだ。x=0付近の右側極限と左側極限を確認してみよう。(右側極限、左側極限を忘れてしまっている人は復習しよう。グラフの概形を書くうえで必須の内容である。)

右側極限・・・

左側極限・・・

つまり、右から近づく時は上の方へ、左から近づく時は下の方へ流れると言うことを表している。

また先ほどの問題①でもやったように、端についても調べておくと


以上の事から、この関数のグラフは下のようになる。

図6:正解グラフ

上の2問をやってみて、どう感じただろうか。極限や定義域といったものは確かに前の単元で学習しているはずなのだが、自分でその概念をグラフに持ち込もうとするとなかなか難しい。グラフの概形問題が苦手に感じてしまうのはこれが原因だ。

 

グラフ問題の着目ポイントは?

先の章で言ったように、グラフ問題は自分でその形のヒントとなる要素を見つけ出す必要がある。

といっても読者諸君の中にはどの要素に着目すれば良いのか分からないものもいるだろう。

そこでグラフ概形を書く上で着目しておくと良い事について書いていく。

①一階微分

一階微分に関してはほとんどの人が調べるだろうが、最重要事項でもあるから一応書いておく。導関数の値が0になる点は必ず知っておこう。

②関数の定義域

先の問題で扱ったように、数Ⅲの関数の中には定義域を厳密に定めておかないといけないものがある。

代表的な関数をあげると、分数関数(分母が0になるような点は定義域から除く)や無理関数(ルートの中の値は0以上になるように定義域をとる)がある。

基本的な関数の定義域に関する性質を理解している事が必要となる。

③右端(∞)、左端(-∞)の極限

関数の端、つまり無限としたときの極限がどのようになっているのかによってその形は大きく変わる。

値も∞に発散していくのか?それとも収束するのか?注意深く調査したい事項である。

④定義域から外れている場所付近の極限

都合でやむなく定義域から外した場所では、不思議な挙動をしめす関数が多い。その付近の挙動を調べるのには右側極限や左側極限を使うのが一般的である。

⑤漸近線

④と関連が深いが、その不思議な挙動の1つとしてあげられるのが漸近線である。漸近線は定義域などから注意深く検査していかないとなかなか気づくことが出来ない。

⑥二階微分

上の項目と比べると使用頻度は低いが、その関数が上に凸なのか下に凸なのかという情報がそのごの問題に大きく関わる場合がある。

そのように精密なグラフを要求される場合には二階微分までしておくのが安全である。

 

この項目に従って関数を精査していけば、ほとんど概形を外すことはないだろう。後は諸君の演習次第である。

 

グラフの形を知ることに何の意味があるのか

この話題は受験とは少し離れるが、モチベーション維持の意味では良いと思ったので書いておく。

私がまれに生徒からもらう質問として「こんなにグラフの概形を求めさせて何になるのか?」というものだ。確かに数Ⅲの問題を解こうとなるとグラフ問題が絶対に一問は出てくるし、その頻出度合いの高さにうんざりするかも知れない。

だがグラフの概形を知れることは、数学的に非常に大きな意味がある。今この世界には当然私たちに把握されていない関数が多く存在する。どういった極限をとるのか?定義域はどうなっているのか?その性質を調べるために研究している科学者が大勢いる。

そのときグラフというのは、訳の分からない関数を視覚的に把握しやすくするための非常に有効な手段なのである。諸君が「三次関数」と言われてイメージするのは、あのヤマのようなものが2つあるグラフだろう。

このようにグラフは関数への距離感を一気に縮めてくれるのだ。いまは数Ⅲで扱った関数の組み合わせで出来た関数しか扱えないが、大学に行けばそれは「解析」と言う分野に様変わりする。

いつか出会うであろう未知の関数の解析をモチベーションにして、是非この問題を頑張ってほしい。

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