ε-δ論法の論理と高校数学

高校での極限の捉え方

　この記事を見ている皆さんは、数学Ⅲで習う極限の考え方をしっかりと覚えているだろうか。もし忘れているならば一度この記事を見る前に是非確認してきていただきたい。高校でいう極限とは次のような概念である。

関数の極限: 関数においてを限りなくに近づけるとき、

数列の極限: 数列でをになるまで近づけるとき、

これらの概念を考えた時、こう疑問に思った読者はいないだろうか。「限りなく近づける、あるいはになるまで近づけるとはどういうことか。単なる代入と何が違うのか。」その疑問に答えるべく、今回の記事では極限の正確な捉え方である「ε-δ論法」について述べていく。

極限の考え方「ε-δ論法」

ε-δ論法は、先ほどのセクションで述べた「限りなく近づける」を数学的に正確に捉えた概念である。数列の極限が捉えやすいため、その極限について下に書く。

【定義】

数列がに収束するとは、任意のに対して、ある自然数が存在して、であるすべての自然数に対してとなることである。このとき、を数列の極限という。

これがε-δ論法による極限の定義である。文字が多く登場してきたので混乱する読者も多いであろうから、ひとつひとつ噛み砕いていこう。まず「任意の」という表現は高校数学では出てこない表現である。ここでいう「任意」とは、「どんな数でも」と同じような意味と捉えてよいだろう。つまり、は実数の範囲内であればどんなに大きい数でもどんなに小さい数でもよいということである。ちなみに、実数の範囲内でと言うように言ったのはεが正という条件付きだからである（数Ⅲでならうように複素数そのものには大きさの概念、つまりの概念は無い。それは絶対値とはまた別の考え方である。怪しい人はこの場で確認しよう。）。さて、次に「任意のに対して、ある自然数が存在して」という文についてだが、これは自然数がとは全く無関係に（つまり独立に）決まるわけでは無く、任意のに応じてその都度適切なが決まるという意味である。もっと形式的な言い方をすれば、自然数はによって決まる関数だということである。そのようにして決まったに対して、となるような全てのに対して「｜」となればを数列の極限とよぶ。つまり以上の自然数をとってきた場合には、ととの距離は常によりも小さくなるということを意味する。これらをまとめてみよう。条件を満たせばととの距離はよりも小さくなる訳であるが、そのは任意、つまりどんなに小さい数を取ってきてもよいのだから、が小さくなればなるだけととの距離は縮まる。これが高校数学でいう「限りなく近づく」という表現にあたる。数列の極限はこのように数式と論理を見事に用いた体系から定義されているのである。

具体例

前章でε-δ論法について解説したが、やはり初めてみる読者にとっては抵抗感を強く覚えるだろう。実際、大学数学を始めてε-δ論法で躓いてしまう人は多い。そこで、具体例を提示しよう。次のような数列を考える。

高校数学でもこの極限は求められるだろう。もちろんであるから、極限の値はである。これをε-δ論法で考えてみよう。任意のをとる。このとき、自然数とすればに対して

が言える。つまり適切な値としてを選んだところ、うまくととの距離がより小さくなったのである。これより、この数列の極限の値はと言える。このように、を数列によって適切に定めれば極限の値は論理的に導き出すことが可能である。

大学数学のつまみ食い

この記事では主にε-δ論法について高校数学とのギャップを埋めつつ極限について解説を行った。

ここからも分かるように、大学数学は高校数学とはかなり性質が異なる。いままでの高校数学、受験数学は公式や定理を利用して発展的な問題を解く事がメインである。

しかし大学数学においては、

• なぜその式変形が出来るのか?
• どのような条件において定理が成り立つのか?
• 操作の交換はして良いのか?

など基礎的な論理について学習するのがメインである。

よって高校数学までは出来たが、大学数学からはさっぱりという私の学科のクラスメートも大勢いる。だが、高校数学で納得できない箇所は必ず大学数学が解決してくれる。

この記事を読んでいる読者も、習っていない範囲だからと敬遠せずに積極的に大学数学に興味を持ってもらいたい。高校数学ではあいまいにされてモヤモヤしていた箇所の霧が晴れるかも知れない。

大学での勉強を視野にいれた受験勉強

それでは、これらを踏まえて読者は日々どんなことに意識を持って数学に取り組んで行くべきであろうか。私からのアドバイスは、やはり定義がしっかり言えることや、定理を何も見ずに証明できるようにトレーニングしておくことが大切であると思う。

理由は前述の通りである。たとえば、定義がしっかりと言えることの恩恵を受けられる例をだそう。複素数を係数にもつ二次関数が異なる2つの解を持つとき、読者はどうやって解答のプロセスを考えるだろうか。

もし、判別式と答えた読者がいたら、それはアウトだ。なぜなら、判別式は実数が係数の時にしか使えないからだ。このことはしっかりと教科書に書いてある。この例だけでも定義をしっかり覚えておくことの重要性は見て取れるだろう。

このように、大学数学を意識した勉強をしていくことで勉強法にも改善が図れる。読者はこの記事をみたら、是非意識を変えてもらいたい。