ε-δ論法の論理と高校数学

大学はこんなところ; 専門科目の概要を少しだけ紹介します!

高校での極限の捉え方

 この記事を見ている皆さんは、数学Ⅲで習う極限の考え方をしっかりと覚えているだろうか。もし忘れているならば一度この記事を見る前に是非確認してきていただきたい。高校でいう極限とは次のような概念である。

関数の極限: 関数f(x)においてxを限りなく\alphaに近づけるとき、\lim _{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right)

数列の極限: 数列\left\{ A_{n}\right\}n\inftyになるまで近づけるとき、\lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}

これらの概念を考えた時、こう疑問に思った読者はいないだろうか。「限りなく近づける、あるいは\inftyになるまで近づけるとはどういうことか。単なる代入と何が違うのか。」その疑問に答えるべく、今回の記事では極限の正確な捉え方である「ε-δ論法」について述べていく。

極限の考え方「ε-δ論法」

ε-δ論法は、先ほどのセクションで述べた「限りなく近づける」を数学的に正確に捉えた概念である。数列の極限が捉えやすいため、その極限について下に書く。

【定義】

数列\left\{ A_{n}\right\}\alphaに収束するとは、任意の\varepsilon >0に対して、ある自然数Nが存在して、n\geq Nであるすべての自然数nに対して\left| A_{n}-\alpha \right| <\varepsilonとなることである。このとき、\alphaを数列\left\{ A_{n}\right\}の極限という。

これがε-δ論法による極限の定義である。文字が多く登場してきたので混乱する読者も多いであろうから、ひとつひとつ噛み砕いていこう。まず「任意の\varepsilon >0」という表現は高校数学では出てこない表現である。ここでいう「任意」とは、「どんな数でも」と同じような意味と捉えてよいだろう。つまり、\varepsilonは実数の範囲内であればどんなに大きい数でもどんなに小さい数でもよいということである。ちなみに、実数の範囲内でと言うように言ったのはεが正という条件付きだからである(数Ⅲでならうように複素数そのものには大きさの概念、つまり<の概念は無い。それは絶対値とはまた別の考え方である。怪しい人はこの場で確認しよう。)。さて、次に「任意の\varepsilon >0に対して、ある自然数Nが存在して」という文についてだが、これは自然数N\varepsilonとは全く無関係に(つまり独立に)決まるわけでは無く、任意の\varepsilonに応じてその都度適切なNが決まるという意味である。もっと形式的な言い方をすれば、自然数N\varepsilonによって決まる関数N(\varepsilon)だということである。そのようにして決まったNに対して、n\geq Nとなるような全てのnに対して「|\left| A_{n}-\alpha \right| <\varepsilon」となれば\alphaを数列\left\{ A_{n}\right\}の極限とよぶ。つまりN以上の自然数nをとってきた場合には、\left\{ A_{n}\right\}\alphaとの距離は常に\varepsilonよりも小さくなるということを意味する。これらをまとめてみよう。条件を満たせば\left\{ A_{n}\right\}\alphaとの距離は\varepsilonよりも小さくなる訳であるが、その\varepsilonは任意、つまりどんなに小さい数を取ってきてもよいのだから、\varepsilonが小さくなればなるだけ\left\{ A_{n}\right\}\alphaとの距離は縮まる。これが高校数学でいう「限りなく近づく」という表現にあたる。数列の極限はこのように数式と論理を見事に用いた体系から定義されているのである。

具体例

前章でε-δ論法について解説したが、やはり初めてみる読者にとっては抵抗感を強く覚えるだろう。実際、大学数学を始めてε-δ論法で躓いてしまう人は多い。そこで、具体例を提示しよう。次のような数列\left\{ A_{n}\right\}を考える。

A_{n}=\dfrac {1}{n}

高校数学でもこの極限は求められるだろう。もちろんn\rightarrow \inftyであるから、極限の値は0である。これをε-δ論法で考えてみよう。任意の\varepsilon >0をとる。このとき、自然数n=\dfrac {1}{\varepsilon}とすればn\geq Nに対して

\dfrac {1}{n}-0=\dfrac {1}{n} <\dfrac {1}{N} <\varepsilon

が言える。つまり適切な値としてN=\dfrac {1}{\varepsilon}を選んだところ、うまく\left\{ A_{n}\right\}0との距離が\varepsilonより小さくなったのである。これより、この数列の極限の値は0と言える。このように、Nを数列によって適切に定めれば極限の値は論理的に導き出すことが可能である。

大学数学のつまみ食い

この記事では主にε-δ論法について高校数学とのギャップを埋めつつ極限について解説を行った

ここからも分かるように、大学数学は高校数学とはかなり性質が異なる。いままでの高校数学、受験数学は公式や定理を利用して発展的な問題を解く事がメインである。

しかし大学数学においては、

  • なぜその式変形が出来るのか?
  • どのような条件において定理が成り立つのか?
  • 操作の交換はして良いのか?

など基礎的な論理について学習するのがメインである。

よって高校数学までは出来たが、大学数学からはさっぱりという私の学科のクラスメートも大勢いる。だが、高校数学で納得できない箇所は必ず大学数学が解決してくれる。

この記事を読んでいる読者も、習っていない範囲だからと敬遠せずに積極的に大学数学に興味を持ってもらいたい。高校数学ではあいまいにされてモヤモヤしていた箇所の霧が晴れるかも知れない。

大学での勉強を視野にいれた受験勉強

それでは、これらを踏まえて読者は日々どんなことに意識を持って数学に取り組んで行くべきであろうか。私からのアドバイスは、やはり定義がしっかり言えることや、定理を何も見ずに証明できるようにトレーニングしておくことが大切であると思う。

理由は前述の通りである。たとえば、定義がしっかりと言えることの恩恵を受けられる例をだそう。複素数を係数にもつ二次関数が異なる2つの解を持つとき、読者はどうやって解答のプロセスを考えるだろうか。

もし、判別式と答えた読者がいたら、それはアウトだ。なぜなら、判別式は実数が係数の時にしか使えないからだ。このことはしっかりと教科書に書いてある。この例だけでも定義をしっかり覚えておくことの重要性は見て取れるだろう。

このように、大学数学を意識した勉強をしていくことで勉強法にも改善が図れる。読者はこの記事をみたら、是非意識を変えてもらいたい。

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