数Ⅲの面積は難しい?例題を解きながら基礎から徹底解説

数学3

はじめに 

読者諸君は数Ⅲを学んでいくと、数Ⅱで学習したような多項式のものだけでなく三角関数や指数関数と言った複雑な関数に関する積分も行っていくだろう。積分を学んだということはつまり、面積が求められるということである。数Ⅲではその面積に関する深い理解がその後の発展問題に大きく関わる。

今回の記事では面積について理解を深めて、その基礎を作っていこう。 

基本事項 

【曲線y=f(x)軸の間の面積】 

曲線y=f(x)とx軸とx=ax=bで囲まれた部分の面積は次の式で表される。 

式の形は何やら絶対値がついていて難しそうだが、見た目ほど厳つくはない。

つまり、積分を施す関数の値として負の値を取るような区間があった場合、そのまま積分してしまうとマイナスの面積が出てきてしまうのでそれをプラスにしておきましょうということだ。これは後に実際自分で手を動かしてみると良く分かるだろう。 

【2曲線間の面積】 

2つの曲線y=f(x)y=g(x)x=ax=bで囲まれた部分の面積は次の式で表される。 

これもそこまで難しいことを表しているわけではない。つまり、その積分区間でy=f(x)y=g(x)を比べて、その値が大きい方から小さい方を引いたものを採用しますよということだ。

なぜこんなことをしているのかというと、もし仮に小さいほうから大きい方の値を引いてしまうとその値が負となって先ほどと同様マイナスの面積が出てきてしまうからだ。 

【曲線x=g(y)y軸間の面積】 

曲線x=g(y)y軸、直線y=cy=dで囲まれた部分の面積は次のように表される。 

これに関しては今の段階ではまだ理解が難しいかも知れない。

一応説明しておくと今まで慣れ親しんできた軸方向で積分を行うのではなく軸で積分を行うのだ。イメージ的には縦に伸びていく感じだろうか。これについては今は保留しておこう。 

問題演習 

【問題①】 

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 

(1) y=-cos^{2}xx軸、y 

(2) y=(3-x)e^{x}x=0x=2x 

解説 
先ほどの基本事項で述べたとおり、面積を求める際にはどの区間で関数が負になってしまうのかが非常に重要である。つまり面積問題を解くためにはまずグラフの形を知る必要がある。 

(1) 0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}y\leq0であるから、求める面積は次のようになる。 



2個目の等式の段階において、半角の公式を用いた。半角の公式は元の2倍の角度で情報を記述できるというよりかは三角関数の次数を下げることが出来るという点において有用である。 

(2) y'=(2-x)e^{x}であることから、グラフはこのようになる。 

式変形の途中で部分積分法を用いた。今後このような積分で面積を求める場合には部分積分法は非常に基本的かつ重要な公式となってくるので怪しい人はすぐに復習しよう。 

【問題②】 

区間0\leq x\leq 2\piにおいて2つの曲線y=sinxy=sin2xで囲まれた図形の面積を求めよ。 

解説 
まず2曲線が絡んでくる積分を計算する場合、どちらが上側にいるのかが非常に重要な情報となってくる。2曲線の交点などを調べるとよいだろう。

また今回の積分に限ってはその面積の対称性が使える。計算が楽になるので、こういった性質はどんどん使っていこう。 

2曲線の共有点の座標は、sinx=sin2xとすると二倍角の公式を用いて 

sinx(1-2cosx)=0 

xの範囲に気をつけると、求めるxの値はx=0\dfrac{\pi}{3}\pi\dfrac{5\pi}{3}2\pi。2曲線の位置関係は次のようになる。 

図から分かるように、求める面積は点煮関して対称である。よって 


区間を分けているのは、どちらが上に来ているのかを考慮した結果である。あらかじめ調べておくことによって基本事項のような絶対値を用いて表現する必要がなくなるわけだ。 

【問題③】 

次の曲線と直線で囲まれた部分の面積を求めよ。 

y=e logxy=-1y=2ey 

解説 
今までのように軸の区間で積分するのではないタイプだ。この場合逆関数を求めてyで積分するのが妥当だろう。 

y=e logxからx=e^{\dfrac{y}{c}}。また-1\leq y\leq 2eで常にx>0なので 

イメージ的には縦に積分している感じだ。逆関数の方が積分として求めやすい形の場合そちらの関数を用いることもしばしばある。そして逆関数の方が求めやすいかどうかは、やはり自分で関数の形を調べるほかないのである。 

【問題④】 

最後に微分との融合問題として一問提示しよう。 

曲線y=logxが曲線y=ax^{2}と接するように正の定数aの値を求めよ。またそのとき、これらの曲線とx軸で囲まれる図形の面積を求めよ。 

解説 
前半は微分の問題で基本的な知識を使えば解ける。後半が積分問題である。 

f(x)=logxg(x)=ax^{2}とするとf'(x)=\dfrac{1}{x}g'(x)=2axとなる。

2つの曲線がx=cの点で接するための条件は 

log c=ac^{2}

\dfrac{1}{c}=2ac

これを解くと、c=\sqrt{e}a=\dfrac{1}{2e}であり接点の座標は(\sqrt{e},\dfrac{1}{2})。よって求める面積は 

まとめ 

さて今回の記事では積分と深い関係にある面積について基礎的な分野を触れてきた。

面積は必ず正という当たり前だが重要な性質を成り立たせるために基本事項では絶対値を用いて表現したが、要するに常に被積分関数(積分の記号の中に入っている関数)の値が正になるように工夫すれば良いのである。そのためには関数の形を知ること、つまり微分の知識が必要だ。

微分と積分が切っても切れない関係にあるのがよく分かるだろう。このほかにも面積に関する問題は多く存在するし、さらに概念を広げて体積にまで及ぶのでこのあたりの理解は必須だ。是非自身でも練習してみてほしい。 

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