数学Ⅲを基礎からわかりやすく!「不定積分」とその基本性質

数学3

不定積分をしっかりと理解せよ

数学Ⅲの積分において最初に学習するのは不定積分である。

今までの数学Ⅱまでは多項式のみを扱えば良かったが、数学Ⅲでは三角関数や対数関数といった複雑な関数や、置換積分など様々な積分法が存在する。

ひとつひとつの方法を整理して問題に生かしていこう。

積分の基本事項

【不定積分】

関数f(x)に対して、微分するとf(x)になる関数を、f(x)の不定積分または原始関数と呼ぶ。

これを\int f(x)dxで表す。またf(x)の不定積分の1つをF(x)とすると、f(x)の不定積分は\int f(x)dx=F(x)+Cと表される。ただし、Cは定数とする。

このとき、f(x)を非積分関数、xを積分変数、定数Cを積分定数という。また関数f(x)からその不定積分を求める事をf(x)を積分するという。

※注意

数学Ⅱでも学習したように、微分と積分は互いに逆の操作であり、しかも定数を微分すると0となってしまうので、不定積分の1つをF(x)としたのである。実際、Cを積分定数とするとF(x)F(x)+Cも微分するとf(x)である。

【不定積分の基本性質】

f(x)g(x)の不定積分の1つをそれぞれF(x)G(x)とすると

{kF(x)+lG(x)}'=kF'(x)+lG'(x)=kf(x)+lg(x)

であるから、

\int {kf(x)+lg(x)}dx=kF(x)+lG(x)=k\int f(x)dx+l\int g(x)dx

が成立する。高校数学ではあまり使わない用語だが、大学数学ではこのような性質を線形性ともいったりする。

【基本的な関数の不定積分】

不定積分は、導関数の公式の逆を考えることにより求める事が出来る。

微分の章で学習した導関数の逆を用いて基本的な関数の不定積分を覚えてしまおう。ただし、Cはいずれも積分定数とする。

[1] x^{\alpha}の関数

\alpha\neq-1のとき

のとき  \int x^{\alpha}×dx=\dfrac{x^{\alpha}+1}{\alpha+1}+C

\alpha=-1のとき

\int \dfrac{dx}{x}=log|x|+C

[2]三角関数

\int sinxdx=-cosx+C   \int cosxdx=sinx+C

\int \dfrac{dx}{cos^{2}x}=tanx+C  \int \dfrac{dx}{sin^{2}}=-\dfrac{1}{tanx}+C

[3]指数関数

\int e^{x}×dx=e^{x}+C

※注意

微分法では積・商の微分公式があったが、積分法ではそのようなすべての場合に使えるような一般的な方法はない。またすべての関数が積分できるとは限らない。(不定積分が存在しないということでは無く、我々が学習するような基本的な関数で表せないということである。)従って、それぞれの関数の特長を利用して積分をしていくことになる。

【練習問題①】

次の不定積分を求めなさい。積分定数はCとしなさい。

(1) \int \dfrac{(\sqrt{x}-2)^{2}}{\sqrt{x}}dx

x^{\alpha}型の積分公式を利用したいので、展開を施す。

\int \dfrac{(\sqrt{x}-2)^2}{\sqrt{x}}dx
=\int(\sqrt{x}-4+\dfrac{4}{\sqrt{x}})dx
=\int(x^{1/2}-4+4x^{-1/2})dx
=\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}-4x+8\sqrt{x}+C

(2) \int \dfrac{x-cos^{2x}}{x×cos^{2x}}dx

三角関数の相互関係式を利用して、我々が知っている積分の形まで落とし込む。

\int \dfrac{x-cos^{2x}}{x×cos^{2x}}dx
=\int(\dfrac{1}{cos^{2x}}-\dfrac{1}{x})dx
=tanx-log|x|+C

【練習問題②】

次の条件を満たす関数F(x)を求めよ。

F'(x)=tan^{2}×x  F(\pi)=0

F(x)=\int F'(x)dx=\int tan^{2}×xdx
=\int (\dfrac{1}{cos^{2}x}-1)dx=tanx-x+C

またF(\pi)=0であるからtan\pi-\pi+C=0

これを解いてC=\pi

従って、求める関数はF(x)=tanx-x+\pi

※注意

一般に不定積分は無数にあるが、F(\pi)=0のような初期条件があれば積分定数の値は1つに定まる。練習問題①と練習問題②の違いをしっかりと理解してほしい。

不定積分の置換積分法・部分積分法(超重要)

f(ax+b)の不定積分】

F'(x)=f(x)a\neq0とするとき\int f(ax+b)dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C

合成関数の微分法{F(ax+b)}'=aF'(ax+b)=af(ax+b)から得られる。

【置換微分法】

\int f(x)dx=\int f(g(t))g'(t)dt

ただし x=g(t)

この微分法は非常に良く使うので是非この場で理解していってほしい。

f(x)の不定積分y=\int f(x)dxにおいて、xが微分可能なtの関数g(t)x=g(t)と表されるとき、

\dfrac{dy}{dt}
=\dfrac{dy}{dx}×\dfrac{dx}{dt}
=f(x)g'(t)
f(g(t))g'(t)

となることから得られる。ここだけでは少し抽象的でわかりにくいと思うので、下の練習問題で確認してほしい。

【部分積分法】

\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

積の微分公式から導く事が出来る。これも非常によく使う方法である。

【練習問題③】

次の不定積分を求めなさい。

(1)\int \sqrt{2x-3}dx

f(ax+b)の不定積分を用いる。

\int \sqrt{2x-3}dx
=\int (2x-3)^\dfrac{1}{2}dx
\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}(2x-3)^\dfrac{3}{2}+C
=\dfrac{1}{3}(2x-3)\sqrt{2x-3}+C

不定積分を求めた後は、微分して検算を行うとよい。実際、右辺を微分していくと被積分関数になることが確かめられるだろう。

(2) \int (2x+1)\sqrt{x+2}dx

置換積分の公式を利用する。このとき、何を=tとおくかがポイントとなる。後の不定積分が楽になるような選び方をしよう。

\sqrt{x+2}=tとおくと、x=t^{2}-2からdx=2tdt。よって

\int (2x+1)\sqrt{x+2}dx
=\int (2t^{2}-3)t×2tdt
=\dfrac{2}{5}(2x-1)(x+2)\sqrt{x+2}+C

置換積分法の感覚はつかめただろうか。このように、一見複雑そうに見える積分の計算も置換をすることによって我々の知っている積分に落とし込むことが出来るのである。

不定積分の求め方まとめ

今回の記事で学習した不定積分に加えて、様々な不定積分をここでまとめておこう。ひとつひとつの問題に対して迅速に対応できるかが鍵となる。

[1]基本的な関数の不定積分

先ほど確認したとおりである。ここに関しては考えずとも出てくるまでに練習しよう。

[2]分数関数

\dfrac{g'(x)}{g(x)}の形・・・対数関数に関する不定積分で対応。

②分子の次数を下げてみる。

③部分分数分解してみる。

(ax+b)^{n}を含む。・・・ax+b=tとおいて置換積分してみる。

[3]無理関数

①分母の有理化をする。

\sqrt{ax+b}を含む・・・\sqrt{ax+b}=tとおいて置換積分してみる。n乗根の場合でも同様の対応が出来る。

g'(x)\sqrt{g(x)}の形・・・g(x)=tまたは\sqrt{g(x)}=tとおいて置換積分。

\sqrt{x^{2}+A}の形・・・x+\sqrt{x^{2}+A}=tとおいて置換積分。

[4]三角関数

f(A)A'の形(Aは三角関数)に注目

②部分積分法の利用

③次数を下げる(2倍角、3倍角、積和の公式等がある)

④漸化式の利用

[5]指数関数・対数関数

f(A)A'の形に注目

②部分積分法の利用(特にlogxの不定積分は公式として暗記していても良いレベルである)

③漸化式の利用

今回の記事のまとめ

今回の記事では、数学Ⅲで積分法を利用するにあたって最低限必要な積分方法について述べていった。

上の3.1で述べたとおり、数学Ⅱではただの多項式積分だったが、複雑な関数や様々な積分法など思考を整理しておかないと相当きついものになる。

読者諸君には、この記事だけで数学Ⅲの積分を理解した気にならずに自分の持っている参考書等を通じて積分演習を積んでいってほしい。

積分は自分の手を動かすのが最も速い身につき方である。

参考 チャート式基礎からの数学Ⅲ

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