数学Ⅲをわかりやすく!「複素数平面」とは

数学3

複素数平面とは・・・?

 平面と聞いて、「わざわざ複素数を使った平面を使うくらいなら、いままでの座標で良いのではないか?」と思った読者もいることだろう。確かに、これから学習していく複素数平面はいままでの座標とかなり性質は似通っている。だが、複素数平面には、今までの座標では計算しにくかった「ある運動」が簡単に計算できるのである。その運動が何か、この記事を通して伝えていきたいとおもう。

複素数平面

複素数

複素数の四則計算

\alpha=a+bi\beta=c+diという2つの複素数\alpha・\betaを用意する。このとき、加法と減法は次のようになる。

\alpha+\beta=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

\alpha-\beta=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

虚数単位iがついている項とそうでない項とを分けて計算することに注意しよう。次に、積法については下のような計算が成り立つ。

\alpha×\beta=(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bd×i^2=(ac-bd)+(ad+bc)i

複素数の積においても、多項式の積と同じように分配法則を用いて計算することが出来る。i^2=-1になる点は注意して計算しよう。

例題:計算しなさい。

(1) (1+3i)+(4-6i)     A.5-3i

(2) (6-3i)-(9+9i)     A.-3+6i

(3)(1+4i)×(2+7i)     A.-26+15i

複素数の相当

イコールでつながれた複素数の性質について、次のような物がある。

a+bi=c+diが成立するとき、a=cかつb=d

このことを「複素数の相当」という。今後の複素数の問題を解く上で非常に重要な性質だから、しっかり覚えておこう。

例題:次の等式が成り立つ時、xyを求めなさい。

3+7i=(2-x)+(5+y)i     A.x=1,y=2

共役な複素数

複素数には、共役という考え方が存在する。

複素数\alpha=a+biに対して、\overline {\alpha }=a-biを共役な複素数という。通常、共役な複素数はこのように文字の上にバーを引いて表現することが多い。読み方は「アルファバー」である。

例題:次の複素数と共役な複素数を求めなさい。

3-8i     A.3+8i

複素数平面における和、差、実数倍

我々は、これから複素数平面という概念を取り入れる。複素数平面とは、その名のとおり複素を平面に図形的に表す手段である。複素数平面を用いる事で、今までイメージしにくかった複素数の図形的な解釈が可能になるのだ。

図1:複素数平面

複素数平面は具体的には下のようなものである。x軸を実軸、y軸を虚軸という。Z=a+biを表す時には、図のように点が置かれる。このとき、Zを表す点AをA(Z)A(a+bi)、あるいは簡単に点Zなどと表す。複素数平面において、複素数の加法、実数倍はどのように表現されるだろうか。

\alpha=a+bi  \beta=c+diについて

\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i

であったから、点\alpha+\betaは点\alphaを、実軸方向にc、虚軸方向にdだけ平行移動させた点である。また複素数の実数倍についても考えてみよう。実数kと複素数\alpha=a+biについて、

k\alpha=ka+kbi

よって、\alpha0では無いときは、点k\alphaは2点0\alphaを通る直線l上にある。逆に、この直線l上の点は、\alphaの実数倍の複素数を表す。

例題:

\alpha=a+2i\beta=-2-4i\gamma=3+biとする。4点0\alpha\beta\gammaが一直線上にあるとき、実数a

bの値を求めよ。

ポイント:

いちどに処理しようとせずに、①0\alpha\beta ②0\alpha\gammaの組にそれぞれ分けて考えよう。一直線上ということは、定数倍を利用する問題である。

A.

\alpha0ではないから、条件より\beta=k\alpha・・・①、\gamma=l\alpha・・・②となるklが存在する。

①から、-2-4i=ka+2ki 複素数の相当より、-2=ka-4=2k

これを解くとk=-2a=1

②から、3+bi=l+2li 複素数の相当より、3=lb=2l

これを解くと、l=3b=6

複素数の絶対値

複素数\alpha=a+biに対して、√(a^2+b^2 )\alphaの絶対値といい、\left| \alpha \right|と表す。これは、複素数平面上の点\alphaと原点との距離を表している。絶対値には次のような性質がある。

\left| \alpha \right|=0\alpha=0

\left| \alpha \right|=\left| -\alpha \right|=|\overline {\alpha }|

\overline {\alpha }=|\alpha|^2

④2点\alpha\betaの距離は|\beta-\alpha|

③の性質は複素数独特の性質であるから、意識してほしい。複素数の問題では頻出である。とりわけ、③において|\alpha|=1の時は、\overline {\alpha }=\dfrac {1}{\alpha }が成立する。(\overline {z}自身で計算して確かめてみよう。)

例題:

z=1+iのとき、|z+ \dfrac {1}{\overline {z}}|の値を求めよ。

ポイント:

無理矢理にzを代入して計算するのも良いが、絶対値の性質③を利用して計算するととても計算しやすい。

A.\dfrac {\sqrt {3}}{2}

極形式

複素数の極形式

図2:極形式の考え方

複素数平面上で、0でない複素数Z=a+biを表す点をPとする。OP=r、半直線OPを動径と考えて、動径OPの表す角を\thetaとすると、a=rcos\thetab=rsin\thetaであるから

Z=r(cos\theta+isin\theta)

と表す事が出来る。これを複素数Zの極形式という。また、\thetaZの偏角といいargZで表す。いわば、複素数の極形式は、複素数の絶対値の大きさと角度に注目した表現方法である。

例題:

次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角θ0以上2π未満とする。

(1)-1+√3i     A.2(cos \dfrac{2}{3} \pi+isin \dfrac{2}{3} \pi)

(2)-2i     A.2(cos \dfrac{3}{2} \pi+isin \dfrac{3}{2} \pi)

複素数の乗法・除法

複素数の積については以前も取り上げたが、このセクションでは極形式の場合に積や商の結果がどうなるのかを見ていこう。

\alpha=r(cos\theta+isin\theta)\beta=R(cos\phi+isin\phi)

とおくこのとき、複素数の積と商は次のように表される。

\alpha×\beta=rR{cos⁡(\theta+\phi)+isin(\theta+\phi)}

\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{r}{R}{cos⁡(\theta-\phi)+isin(\theta-\phi)}

偏角についての等式は、両辺の角が2\piの整数倍の差を除いて一致することを意味する。この式が表す事は、複素数の積ならば、\alpha×\betaという複素数は\alphaという複素数の大きさをR倍して偏角を\phiだけすすめた複素数であるということであり、また商ならば、\dfrac{\alpha}{\beta}という複素数は\alphaという複素数の大きさを\dfrac{1}{R}倍して偏角を-\phiだけ進めた複素数であるということである。今までの考え方ではやりにくかった「回転」という操作が、複素数平面を用いることで直感的かつ簡単に実行することができるのだ。

例:

(1-i)zは、点zをどのように移動した点であるか。

A. (1-i)z=√2 (\dfrac{1}{√2}-\dfrac{1}{√2} i)z=√2{cos⁡(-\dfrac{\pi}{4})+isin(-\dfrac{\pi}{4})}

よって、点(1-i)zは、点zを原点を中心としてだけ回転し、原点からの距離を倍した点である。

ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理

上で学習した複素数の積の考え方を応用して、次の定理(ド・モアブルの定理)が成り立つ。

nが整数の時、

(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta

この定理の強みは、通常であれば非常に計算量が多くなる累乗の計算を偏角のかけ算に直せることである。そのありがたみを、下の例題で確認してみよう。

例:次の式を計算せよ。

(1+√3 i)^6

A.64

1のn乗根

自然数nと複素数\alphaに対して、z^n=\alphaを満たす複素数zを、\alphan乗根という。1n乗根を求めてみよう。

z^n=1から|z|=1。よって。ゆえに、z=cos\theta+isin\thetaとおくとド・モアブルの定理により

z^n=(cosθ+isinθ)^n=cosn\theta+isinn\theta

従って、

cosn\theta+isinn\theta=1

実部と虚部を比較して、cosn\theta=1sinn\theta=0

よって、n\theta=2\pi×k、すなわち \theta=\dfrac{2k\pi}{n}(kは整数)

複素数と図形

内分点・外分点

複素数の内分点、外分点には次のような性質が成り立つ。

複素数平面上の2点A(\alpha)B(\beta)を結ぶ線分をm:n

内分する点を表す複素数は\dfrac{(n\alpha+m\beta)}{(m+n)}、外分する点を表す複素数は\dfrac{(-n\alpha+m\beta)}{(m-n)}

特に、中点を表す点は\dfrac{(\alpha+\beta)}{2}

また、3点A(\alpha)B(\beta)C(\gamma)を頂点とする三角形ABCの重心を表す複素数は\dfrac{(\alpha+\beta+\gamma)}{3}

これは、数学Ⅱで学習した「図形と方程式」の内容とほぼ同じ性質である。忘れてしまっている人はついでに復習をしておこう。

例:

3点A(-1+4i)B(2-i)C(4+3i)について、次の点を表す複素数を求めなさい。

(1)線分AB3:2に内分する点P     A.\dfrac{4}{5}+i

(2)線分AC2:1に外分する点Q     A.9+2i

方程式の表す図形

複素数の計算においては、幾分特殊な結果の方程式がどんな図形を表すのかを知っておく必要がある。頻繁に使う2つを挙げておこう。

方程式|z-\alpha|=|z-\beta|を満たす点P(z)全体は、線分ABの垂直二等分線を表す。

方程式|z-\alpha|=rを満たす点P(z)全体は、点\alphaを中心とする半径rの点を表す。

例:

方程式2|z-i|=|z+2i|を満たす点zの全体は、どのような図形か。

A.

方程式の両辺を2乗すると、 4|z-i|^2=|z+2i|^2

ゆえに、 4(z-i)(\overline{z}+i)=(z+2i)(\overline{z}-2i)

両辺を展開して整理すると、 \overline{z}z+2iz-2i\overline{z}=0

よって、 (z-2i)(\overline{z=2i})=4

すなわち、 |z-2i|=2

したがって、点zの全体は、点2iを中心とする半径2の円である。

まとめ

今回の記事では、複素数平面という新しい概念から生まれる極形式や図形計算など、複素数の新たな一面を学習してきた。読者諸君に意識していただきたいのは、複素数平面は非常に回転運動に強いという事だ。複素数平面ならではの強みを人文に生かして、問題をすらすら解けるまで根気よく挑戦していこう。

参考

チャート式基礎からの数学Ⅲ

高等学校数学III/複素数平面|wikibooks

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